Ланцюгова лінія

Содержание:ВСТУП 3 РОЗДІЛ І. ЗАГАЛЬНІ ВІДОМОСТІ ПРО КРИВІ 5 1.1. Короткі відомості з історії розвитку вчення про криві 5 1.2. Способи утворення кривих 11 1.3. Систематика кривих. Загальні теореми 15 РОЗДІЛ ІІ. ЛАНЦЮГОВА ЛІНІЯ 16 2.1. Загальні відомості про трансцендентні криві 16 2.2. Ланцюгова лінія 19 2.2.1. Виведення рівняння 19 2.2.2. Властивості 22 2.2.3. Застосування в техніці 26 2.3. Ланцюгова лінія рівного опору 29 ВИСНОВКИ 32 СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ 34  

Вступление:Вивчаючи математику в школі, ми маємо справу з об'єктами, які легко піддаються дослідженню: працюємо з функціями, які можна диференціювати, вивчаємо такі множини, до яких застосовуємо класичні розрахунки. Це все детально досліджено і вивчено. Але математика рухається вперед. Математики прагнуть розширити круг математичних об'єктів, цікавляться досі недослідженими множинами і функціями. Таким чином з'являються нові і дуже цікаві розділи науки математики, де ми знайомимося з новими об'єктами. Одними із таких і є трансцендентні лінії. Трансцендентна крива — це аналітична крива, що не є алгебраїчною. Точніше, крива, яку можна задати через лінію рівня аналітичної функції (або, в багатовимірному випадку системи аналітичних функцій), але не можна задати алгебраїчною функцією. Трансцендентні криві зустрічаються також і в шкільному курсі математики в якості графіків функцій, зокрема, показникової, логарифмічної, тригонометричних, обернених тригонометричних тощо. Прикладами таких ліній є експонента, синусоїда, циклоїда, трактриса, спіраль Архімеда, ланцюгова лінія, гіперболічна спіраль, тощо. З метою розширення кругозору та поглиблення знань майбутніх вчителів математики для подальшої педагогічної діяльності пропонуємо розглянути одну із трансцендентних кривих – ланцюгову лінію. Ланцюгова лінія – плоска трансцендентна крива, форму якої приймає під дією сили тяжіння гнучка однорідна і нерозтяжна нитка, закріплена в двох точках. Використовується при розрахунках, пов'язаних з провисанням проводів, тросів. Вперше задачу сформулював італійський математик Галілео Галілей (1564-1642рр), який вважав, що крива на якій розміщена підвішена за два кінці нитка є парабола. Помилковість такої думки з'ясував математик І. Юліус. Задачу про математичне визначення даної кривої поставив швейцарський математик Якоб Бернуллі (1654-1705 pp.). Розв'язок задачі крім нього дали нідерландський математик Хрістіан Гюйгенс (1629–1695 pp.) та німецький математик Готфрід Вільгельм Лейбніц (1646–1716 pp.). Саме X. Гюйгенс ввів термін ланцюгова лінія в 1690 році у листі до Г. Лейбніца.  

Выводы:Ланцюговою лінією називається крива, форму якої приймає під дією сили ваги однорідна гнучка нерозтяжна важка нитка із закріпленими кінцями. Рівняння ланцюгової лінії може бути записане у вигляді або Розглянемо деякі властивості кривої:  1. Крива симетрична відносно осі ординат. 2. Довжина дуги AM, де А(0, а), М(х, у) дорівнює 3. Проекція ординати довільної точки ланцюгової лінії на нормаль в цій точці є сталою величиною і дорівнює а. 4. Площа криволінійної трапеції ОАМР дорівнює 5. Радіус кривизни ланцюгової лінії в будь-якій її точці можна обчислити за формулою . 6. Площа, обмежена ланцюговою лінією, двома її ординатами і віссю абсцис, буде: 7. Якщо дугу кривої обертати навколо осі Ох, то утвориться поверхня обертання, яка називається катеноїдом (рис. 1). Рис. 1 Обертання дуги кривої навколо осі Ох 8. Кінематичний зміст: якщо ланцюгова лінія котиться без ковзання по прямій, то центр кривини точки дотику описує параболу (рис. 2). Рис. 2 Ланцюгова лінія при різних значеннях параметра а Ланцюгова лінія використовується в проектуванні арок (оскільки форма арки у вигляді перевернутої ланцюгової лінії найбільш вдало розподіляє навантаження), при будуванні мостів, при розрахунках, пов'язаних з провисанням проводів, канатів (однорідний канат або ланцюг вільно підвішений за свої кінці, набуває форму графіка гіперболічного косинуса, який іноді називають ланцюговою лінією).  

Литература:1. Маркушевич А.И. Замечательные кривые.- М.: Краснопролетарская; 1978. 2. История математики с древнейших времен до начала XIX столетия/ Под ред. А.П. Юшкевича.- М.: Наука, 1970 3. Никифоровский В. А., Фрейман Л. С. Рождение новой математики. – М.: Наука, 1976. 4. Савелов А.А. Плоские кривые.- М.: Физматгиз, 1960. 5. Ильин В. А., Позняк Э.Г.Аналитическая геометрия.- М.: Наука, 1971. 6. Тышкевич Р.И., Феденко А.С.Линейная алгебра и аналитическая геометрия .- 2-е изд.- Минск:Выш. Шк., 1976.