Наближене обчислення визначених інтегралів

Содержание:Вступ 3 1. Означення і властивості визначеного інтеграла. Формула Ньютона - Лейбница 5 2. Постановка задачі 10 3. Формула прямокутників 11 4. Формула трапецій 14 5. Параболічна формула 16 6. Алгоритми реалізації методів прямокутників, трапецій і парабол 20 7. Приклади обчислення інтегралів за різними формулами 21 Висновки 27 Список використаних джерел 28

Вступление:При розв’язуванні математичних, інженерних, фізичних задач досить часто виникає потреба обчислювати визначені інтеграли. Лише в небагатьох випадках для їх обчислення можна отримати аналітичні вирази для первісних підінтегральних функцій. Інтегральне числення виникло з потреби створити загальний метод розвідки площ, обсягів і центрів тяжіння. В зародковій формі такий метод застосовувався ще Архімедом. Систематичний розвиток він отримав у 17-му столітті в роботах Кавальєрі, Торрічеллі, Ферма, Паскаля та інших вчених. У 1659 р. Барроу встановив зв’язок між завданням про знаходження площі і завданням про знаходження дотичної. Ньютон і Лейбніц в 70-х роках 17-го століття відвернули цю зв’язок від згаданих приватних геометричних задач. Тим самим було встановлено зв’язок між інтегральним і диференціальним численням. Цей зв’язок було використано Ньютоном, Лейбніцем та їх учнями для розвитку техніки інтегрування. Свого теперішнього стану методи інтегрування в основному досягли в роботах Л. Ейлера. Праці М. В. Остроградського і П. Л. Чебишева завершили розвиток цих методів. На практиці часто зустрічаються інтеграли, що не виражаються через елементарні функції або виражаються дуже складно. Нерідко підінтегральна функція задається таблицею або графіком. У цих випадках інтеграли знаходяться наближеними методами. Це призвело до необхідності виведення наближених формул обчислення визначених інтегралів. Мета курсової роботи – навести основні поняття і факти про визначений інтеграл та його методи наближеного обчислення. Для досягнення поставленої мети слід виокремити наступні завдання, які вирішуватимуться у даній курсовій роботі: 1) розкрити теоретичні основи наближених обчислень визначених інтегралів; 2) навести найпоширеніші формули, тобто алгоритми реалізації методів прямокутників, трапецій і парабол; 3) розглянути приклади обчислення інтегралів за різними формулами. У даній роботі можна ознайомитися з основними методами, в яких наближені формули для визначних інтегралів складаються по деякому числу значень підінтегральної функції, обчислених для ряду (зазвичай рівновіддалених) значень незалежної змінної.

Выводы:При вирішенні фізичних і технічних завдань доводиться знаходити визначені інтеграли від функцій, первісні яких не виражаються через елементарні функції. У цих випадках інтеграли знаходяться наближеними методами. У даної курсової роботи ми розглянули означення і властивості визначеного інтеграла та формули наближених обчислень визначених інтегралів: формулу прямокутників, формулу трапецій та параболічну формулу (формулу Сімпсона). За допомогою вказаних формул навели приклади обчислення визначених інтегралів.

Литература:1. Архипов Г. И. Лекции по математическому анализу : учебник для университетов и пед. вузов / Г. И. Архипов, В. А. Садовничий, В. Н. Чубариков ; под ред. В. А. Садовничего. – М. : Высш. шк. 1999. – 695 с. 2. Босс В. Лекции по математике: анализ / В. Босс. – М. : Едиториал УРСС, 2004. – 216 с. 3. Бугров Я. С. Высшая математика : учеб. для вузов : В 3 т. / Я. С. Бугров, С. М. Никольский ; под ред. В. А. Садовничего. – 6-е изд., стереотип. – М. : Дрофа, 2004. 4. Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике / М. Я. Выгодский. – М. : АСТ: Астрель, 2006. – 991 с. 5. Давидов М. О. Курс математичного аналізу / М. О. Давидов. – Ч. 1. – К. : ВШ, 1990. – 384 с. 6. Данко П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах : учеб. пособие для студентов : В 2-х ч. – Ч. I. / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. – 4-е изд., испр. и доп. – М. : Высш. шк., 1986. – 304 с. 7. Демидович Б. П. Краткий курс высшей математики : учеб. пособие для вузов / Б. П. Демидович, В. А. Кудрявцев. – М. : ООО «Издательство Астрель» ; ООО «Издательство АСТ», 2001. – 656 с. 8. Каплан И. А. Практическиезанятия по высшейматематике / И. А. Каплан. – Часть IV. Кратные и криволинейные интегралы. (Издание 2-е, стереотип.) // Изд. Харьковского ордена трудового красного знамени Государственного университета им. А. М. Горького. – Харьков, 1971. – 499 с. 9. Ильин В. А. Основы математического анали за : В 2-х ч. – Часть I. : учеб. для вузов / В. А. Ильин, Э. Г. Позняк. – 7-е изд. – М. : ФИЗМАТЛИТ, 2005. – 648 с. 10. Курс высшей математики : учебное пособие для студентов заочной (дистационной) формы обучения : Т. 2 / В. Г. Зубков, В. А. Ляховский, А. И. Мартыненко, В. Б. Миносцев. – М. : МИИР, 2005. – 272 с. 11. Лавренчук В. П. Вища математика. Загальний курс. Частина 2. Математичний аналіз і диференціальні рівняння : навчальний посібник / В. П. Лавренчук, П. П. Настасієв, О. В. Мартінюк, О. С. Кондур. – Чернівці : Книги – XXI, 2010. – 556 с. 12. Математика : учеб. пособие / Ю. М. Данилов, Л. Н. Журбенко, Г. А. Никонова, Н. В. Никонова, С. Н. Нуриева ; под ред. Л. Н. Журбенко, Г. А. Никоновой. – М. : ИНФРА-М, 2009. – 496 с. 13. Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: Полный курс / Д. Т. Письменный. – 4-е изд. – М. : Айрис-пресс, 2006. – 608 с. 14. Рудницький В. Б. Вища математика у вправах і задачах : навчальний посібник для студентів економічних та технологічних спеціальностей вузів / В. Б. Рудницький, Н. В. Грипинська, О. Я. Кучерук, В. В. Мороз. – Хмельницький : ТУП, 2004. – 130 с. 15. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления / Г. М. Фихтенгольц. – Т. 2. – М. : Физматлит, 2003. – 800 с. 16. Черненко В. Д. Высшая математика в примерах и задачах : учебное пособие для вузов : В 3 т. – Т. 1. / В. Д. Черненко. – СПб. : Политехника, 2003. – 703 с. 17. Шипачев В. С. Высшая математика : учеб. для вузов / В. С. Шипачев. – 4-е изд. стер. – М. : Высш. школа. 1998. – 479 с. 18. Щелкунова Л. І. Вища математика. Тексти лекцій : навчальний посібник / Л. І. Щелкунова – Х. : ФОП О. В. Ворошилова, 2011. – 148 с.