Застосування теорії великих чисел та центральної граничної теореми на практиці

Содержание:ЗМІСТ Вступ    3 Розділ 1. Граничні теореми теорії ймовірностей    4 1.1. Закон великих чисел    4 1.1.1. Нерівність Маркова.    4 1.1.2. Нерівність Чебишова.    6 1.1.3. Закон великих чисел у формі Чебишова.    8 1.1.4. Закон великих чисел у формі Маркова.    9 1.1.5. Теорема Бернуллі.    10 1.2. Центральна гранична теорема    11 1.2.1. Теорема Ляпунова.    11 1.2.2. Теорема Муавра-Лапласа.    15 Розділ 2.  Застосування теорії великих чисел та центральної граничної теореми на практиці    16 2.1. Застосування закону великих чисел    16 2.2. Застосування центральної граничної теореми    17 Висновки    21 Список використаної літератури    23  

Вступление:Вступ Теорія ймовірностей, як математична теорія, вивчає закономірності масових подій. Пізнавальна цінність її обумовлена тим, що масові випадкові явища у своєму сукупному впливу створюють строгі закономірності. Саме поняття математичної ймовірності було б безплідним, як би не знаходило б свого здійснення у вигляді частоти появи якого−небудь наслідку при багатократному повторі певного комплексу умов. Математичні закони теорії ймовірностей, одержані внаслідок формалізації реальних статистичних закономірностей, що притаманні масовим випадковим подіям. Під час спостереження масових однорідних випадкових подій у них виявляються певні закономірності типу стабільності. Так, у разі великого числа проведених експериментів, відносна частота події W(A) виявляє стабільність і за ймовірністю наближається до ймовірності Р(А); середнє арифметичне для випадкової величини наближається за ймовірністю до її математичного сподівання. Ці закономірності об'єднують під спільною назвою закон великих чисел, який можна загалом сформулювати так: сумісна дія випадкових факторів у разі їх великого числа приводить при деяких, надто загальних, умовах до результату (середній їх результат), який практично перестає бути випадковим і може передбачатися з великою надійністю. Тобто, закон великих чисел − це група теорем, яка встановлює відповідність поміж теоретичними та експериментальними характеристиками випадкових величин і випадкових подій у разі великого числа експериментів над ними, за певних умов, виявляється факт наближення середніх характеристик до певних невипадкових, а також теореми стосовно граничних законів розподілу, які об'єднуються під загальною назвою граничних теорем теорії ймовірностей.  

Выводы:Висновки Значний досвід, накопичений людством, підказує, що явища, які мають ймовірність, досить близьку до одиниці, майже обов’язково відбуваються. Так само події, ймовірність яких дуже мала, відбуваються дуже рідко. Ці обставини відіграють основну роль для всіх практичних висновків з теорії ймовірностей, оскільки вказаний досвідний факт дає право в практичній діяльності вважати малоймовірні події практично неможливими, а події, що відбуваються з ймовірностями, близькими до одиниці, практично достовірними. При цьому на цілком слушне питання, яка повинна бути ймовірність, щоб подію можна було вважати практично неможливою (практично достовірною), однозначну відповідь дати не можна. І це зрозуміло, оскільки в практичній діяльності необхідно враховувати важливість тих подій, з якими доводиться мати справу, тобто тільки вимоги практики можуть підказати критерії, згідно з якими можна вважати ті чи інші події практично неможливими або практично достовірними. В той же час слід зазначити, що будь-яке випробування, що має додатну ймовірність, яка б мала не була ця ймовірність, може відбутися, і якщо число випробувань, в кожному з яких воно може настати з однією і тією ж ймовірністю, дуже велике, то ймовірність хоча б однократної появи може стати скільки завгодно близькою до одиниці. Цю обставину слід завжди мати на увазі. Однак якщо ймовірність деякої події дуже мала, то надзвичайно складно сподіватися її появи в деякому визначеному наперед випробуванні.     Зі сказаного зрозуміло, що в практичній діяльності і в загальнотеоретичних задачах більше значення мають події з ймовірностями, близькими до нуля чи одиниці. Звідси стає зрозумілим, що однією з основних задач теорії ймовірностей повинно бути встановлення закономірностей, які мають місце з ймовірностями близькими до одиниці: при цьому особливу роль повинні відігравати закономірності, що виникають в результаті накладання великого числа незалежних або слабко залежних випадкових факторів. Закон великих чисел є одним із таких припущень теорії ймовірностей і при цьому найважливішим. В курсовій роботі були розглянуті і строго математично доведені основні граничні теореми теорії ймовірностей − теореми, що стосуються законів великих чисел, а також центральна гранична теорема. Вони виражають загальний принцип, в силу якого при доволі загальних умовах сумісна дія великого числа випадкових величин виявляється майже сталою. Тут закладено обґрунтування багатьох законів фізики, економіки і інших областей, які мають справу з явищами масового характеру. Центральна гранична теорема дає теоретичне пояснення багатьом емпіричним фактам. Згідно «гіпотези елементарних помилок», введеної Хагеном і Бесселем, сумарна помилка фізичного чи астрономічного вимірювання розглядається як сума великого числа взаємно незалежних елементарних помилок. Тоді, згідно центральної граничної теореми, сумарна помилка повинна бути розподілена приблизно нормально. Часто, наприклад, в біологічних дослідженнях, природно бачити в випадковій величині сумарний ефект великого числа незалежних причин. Така ж точка зору може бути застосована до випадкових величин, що зустрічаються в техніці і економіці.  

Литература:Список використаної літератури 1.    Скороход А.В. Елементи теорії ймовірностей та випадкових процесів. - К.: Вища школа, 1975. 2.    Розанов А.А. Теория вероятностей, случайные процессы и математическая статистика. 2-е изд. доп. - М.: Наука, 1989. 3.    Козлов М.В. Элементы теории вероятностей в примерах и задачах. - М.: Изд. Московского ун-та, 1990. 4.    Уиттл П. Вероятность. Пер. с англ. - М.: Наука, 1982. 5.    Коваленко И.Н., Гнеденко Б.В. Теория вероятностей. - К.: Выща школа, 1990. 6.    Секей Г. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике. Пер. с англ. - М.: Мир, 1990. 7.    Мешалкин Л.Д. Сборник задач по теории вероятностей. - М.: Изд. Московского ун-та, 1963. 8.    Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей. Задачи и упражениня. - М.: Наука, 1969. 9.    Зубков А.М., Севастьянов Б.А., Чистяков В.П. Сборник задач по теории вероятностей. - М.: Наука, 1989, (2-е издание). 10.    Лоэв М. Теория вероятностей. Пер. с англ. - М.: Иностранная литература, 1962. 11.    Феллер В. Ввведение в теорию вероятностей и ее приложения. Тома 1 и 2. Пер. с англ. - М.: Мир, 1984. 12.    Гихман И.И., Скороход А.В., Ядренко М.И. Теория вероятностей и математическая статистика. - К.: Вища школа, 1988. 13.     Колемаев В.А., Староверова О.О., Турундаевский В.В. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высшая школа, 1991. 14.    Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. – М.:Наука, 1988. 15.     Теорія ймовірностей. Збірник задач. Під ред. А.В.Скорохода. – К.:Вища школа, 1975. 16.     Черняк О.І., Обушна О.М.,Ставицький А.В. Теорія ймовірностей та математична статистика. Збірник задач.. – К.:Знання,2002. 17.     Скороход А.В. Лекції з теорії випадкових процесів.- К.:Либідь,1990. 18.     Анісімов В.В.,Черняк О.І. Математична статистика. –К.:Леся, 1995. 19.     Леоненко М.М.,Мішура Ю.С., Ядренко М.Й. Теоретико-ймовірносні та статистичні методи в економетриці та фінансовій математиці. – К.:Інформтехніка,1995. 20.     Шефтель З.Г. Теорія ймовірностей. –К.:Вища школа,1994.