Некоректно поставлена задача. Інтегральне рівняння Фредгальма 1-го роду.

Содержание:Вступ 3 Розділ 1. Теоретичні основи вирішення некоректно поставлених задач за допомогою інтегральних рівнянь 6 1.1. Поняття та класифікація інтегральних рівнянь 6 1.2. Коректність задач математичної фізики. Поняття некоректно поставленої задачі 12 Розділ 2. Інтегральне рівняння Фредгольма І роду та його практичне застосування 17 2.1. Постановка  та  розв’язання  інтегрального  рівняння  Фредгольма І роду 17 2.2. Практичне застосування рівняння Фредгольма І роду 21 2.2.1. Алгоритм відновлення одновимірних сигналів 21 2.2.2. Задача відновлення сигналів та її вирішення 24 Висновки 31 Використана література 33

Вступление:Актуальність теми. Серед інформаційних технологій, які лежать в основі всіх напрямів підготовки спеціалістів з комп’ютерних технологій, особливе місце займає математичне моделювання. При цьому під математичною моделлю фізичної системи, об’єкта або процесу звичайно розуміють сукупність математичних співвідношень (формул, рівнянь, логічних виразів), які визначають характеристики стану і властивості системи, об’єкта і процесу та їх функціонування залежно від параметрів їх компонентів, початкових умов, вхідних збуджень і часу. Загалом математична модель описує функціональну залежність між вихідними залежними змінними, через які відображається функціонування системи, незалежними (такими, як час) і змінюваними змінними (такими, як параметри компонентів, геометричні розміри та ін.), а також вхідними збудженнями, прикладеними до системи. Згадана функціональна залежність, що відображається математичною моделлю, може бути явною чи неявною, тобто може бути зображена або як просте алгебраїчне співвідношення, або ж як велика за розміром сумісна система диференціально-алгебраїчних рівнянь. До того, як обчислювальна техніка набула широкого розповсюдження, переважали явні функціональні моделі низьких порядків, пристосовані до можливостей розрахунків ручним способом або розрахунків з малим ступенем механізації (логарифмічна лінійка, арифмометр та ін.). Саме вони і є сьогодні теоретичною основою багатьох інженерних та природничих дисциплін, яка дозволяє під час проектування проводити наближені розрахунки з точністю до кількох десятих відсотка з подальшим обов’язковим макетуванням проектованого об’єкта та його експериментальним доведенням до потрібних параметрів, внаслідок чого розробка нового виробу розтягується на багато років. Сучасні комп’ютери дозволяють у багатьох випадках відмовитися від натурного макетування проектованих виробів, замінивши його математичним моделюванням (обчислювальним експериментом), що дуже важливо, коли натурне макетування складне або практично неможливе (наприклад, моделювання прориву дамби, переміщення всюдиходу поверхнею Марса та ін.). Але при цьому повинна бути істотно підвищена точність математичних моделей об’єктів та систем, що враховують багато фізичних ефектів та дестабілізуючих чинників, якими раніше нехтували. В результаті розмірність і складність математичних моделей істотно зростають, а їх розв’язання в аналітичному вигляді стає неможливим. Це звичайний для сучасної науки і техніки компроміс, що полягає в отриманні нової якості одного параметра (висока точність обчислювального експерименту і відмова від натурного макетування) за рахунок зменшення чи ускладнення іншого параметра (відмова від звичних для вищої математики аналітичних рішень). Для кожної математичної моделі звичайно формулюється математична задача. У загальному випадку, коли функціональна залежності для множини вхідних даних (значення незалежних та змінюваних змінних і вхідних збуджень), що виступають як множина аргументів, задана неявно, за допомогою математичної моделі необхідно визначити множину вихідних залежних змінних, що виступають як множина значень функцій. При цьому відповідно до виду математичної моделі розрізняють такі базові типи математичних задач: 1) розв’язання системи лінійних (в загальному випадку лінеаризованих) рівнянь; 2) розв’язання нелінійних алгебраїчних рівнянь; 3) апроксимація масиву даних або складної функції набором стандартних, більш простих функцій; 4) чисельне інтегрування і диференціювання; 5) розв’язання систем звичайних диференціальних рівнянь; 6) розв’язання диференціальних рівнянь в частинних похідних; 7) розв’язання інтегральних рівнянь. Прості математичні задачі малої розмірності, що вивчаються в курсі вищої математики, допускають можливість отримання аналітичних рішень. Складні математичні моделі великої розмірності вимагають застосування чисельних методів. Тому дослідження розв’язання інтегральних рівнянь на даний час є актуальним і має велике прикладне значення. Метою роботи є дослідження використання методів застосування інтегрального рівняння Фредгольма І роду при вирішенні некоректно поставлених задач. Завдання дослідження, виходячи з поставленої мети, є такими: - Визначити поняття та види інтегральних рівнянь, що застосовуються в моделюванні фізичних систем; - Дослідити поняття коректності задачі, умови та параметри некоректно поставленої задачі; - Проаналізувати сутність методу інтегральних рівнянь Фредгольма І роду; - Навести приклади застосування рівняння Фредгольма І роду в вирішенні актуальних задач сучасності. Предметом дослідження є застосування інтегрального рівняння Фредгольма І роду Об’єктом дослідження є некоректно поставлена задача і її вирішення за допомогою інтегрального рівняння Фредгольма І роду.

Выводы:Інтегральним рівнянням Фредгольма першого роду називається рівняння вигляду  , де   ? задані функції, ? ? комплексний параметр,   ? шуканий розв’язок. Функції  та   називаються ядром і вільним членом інтегрального рівняння. Дане рівняння застосовується при вирішенні диференційних рівнянь в умовах некоректності. Спосіб зведення лінійних краєвих і початково-краєвих завдань до інтегральних рівнянь Фредгольма першого роду вельми універсальний з погляду своєї реалізації в частці наступних аспектів: -  порядок,  і структура диференціальних операторів; -  вид граничних умов; -  наявність змінних коефіцієнтів; -  форма області визначення; -  розмірність завдання. При цьому вся інформація про конкретно дане завдання переноситься у функціональне рівняння, вирішення якого не потрібно підпорядковувати яким-небудь умовам на контурі області, що представляє істотну перевагу. Так, його можна шукати у вигляді лави за системою  елементів, найбільш зручних з погляду процедури чисельної реалізації. Інша справа, що отримуване в результаті перетворень завдання стає некоректним, а відповідно для її вирішення необхідно використовувати спеціальні методи. Разом з тим, в додатках може виявитися прийнятною апроксимація рішення такої задачі рядом, число членів якого не таке велике, щоб негативно впливати на стійкість реалізації обчислювальних алгоритмів. Виходячи з цього, важко з'ясовною представляється відсутність інтересу до застосування продемонстрованої процедури перетворень, особливо - до появи можливостей використання універсальних методів дискретизації. Слід зазначити, що в спеціальній літературі не прозвучала теза про існування формалізованого прийому зведення практично довільних краєвих і початково-краєвих завдань до інтегральних рівнянь Фредгольма першого роду. Разом з цим, є цілий ряд прикладів застосування подібних перетворень в ситуаціях порівняно приватного характеру. Як правило, їм додавалася фізична інтерпретація, що значною мірою крала масштабність згаданого прийому. Таким чином, зведення задач до вирішення інтегрального рівняння Фредгольма першого роду значно полегшує отримання розв’язку в умовах некоректно поставленої задачі.

Литература:1. Адамар Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа. – М.: Наука, 1978. – 351 с. 2. Волевич Л.Р., Гиндикин С.Г. Задача Коши //Современные проблемы математики: Фундаментальные направления. – М.: ВИНИТИ, 1985. – Т.32. – С.5-98. 3. Михлин С.Г. Некоторые вопросы теории погрешностей. – Л.: Изд-во Ленинградск. ун-та, 1988. – 333 с. 4. Арсенин В.Я., Тихонов А.Н. Некорректные задачи /Математическая энциклопедия. – М.: Советская энциклопедия, 1982. – Т.3. – С.930-935. 5. Шилов Г.Е. Жак Адамар и формирование функционального анализа: Выступление на мемориальном заседании Московского математического общества 10 марта 1964 г. //Успехи математических наук. – 1964. – 19. – №3. – С.183-185. 6. Верлань А.Ф., Сизиков В.С. Интегральные уравнения: Методы, алгоритмы, программы. Справочное пособие. – Киев: Наукова думка, 1986. – 543 с. 7. Морозов В.А. Методы регуляризации неустойчивых задач. – М.: Изд-во Московск. ун-та, 1987. – 217 с. 8. Яненко Н.Н., Преображенский Н.Г., Разумовский О.С. Методологические проблемы математической физики. – Новосибирск: Наука, 1986. – 296 с. 9. Пригожин И., Стенгерс И. Порядок из хаоса: Новый диалог человека с природой. – М.: Прогресс, 1986. – 431 с. 10. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. – М.; Л.: Гостехтеориздат, 1945. – Т.2. – 620 с. 11. Стеклов В.А. Основные задачи математической физики. – М.: Наука, 1983. – 432 с. 12. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными. – М.: Физматгиз, 1961. – 400 с. 13. Новожилов В.В. Вопросы механики сплошной среды. – Л.: Судостроение, 1989. – 397 с. 14. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Интегральные уравнения. – М.: Наука, 1976. – 215 с. 15. Банах С.С. Курс функціонального аналізу (лінійні операції). – Київ: Радянська школа, 1948. – 216 с. 16. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. – М.: Наука, 1989. – 623 с. 17. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. – М.: Наука, 1965. – 520 с. 18. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. – М.: Наука, 1977. – 742 с. 19. Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных. – М.: Высшая школа, 1977. – 431 с. 20. Лаврентьев М.М., Савельев Л.Я. Линейные операторы и некорректные задачи. – М.: Наука, 1991. – 331 с. 21. Вайникко Г.М., Веретенников А.Ю. Итерационные процедуры в некорректных задачах. – М.: Наука, 1986. – 181 с. 22. Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики. – М.: Мир, 1982. – Т.1. – 486 с. 23. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1967. – 436 с. 24. Трикоми Ф. Интегральные уравнения. – М.: Изд-во иностр. лит., 1960. – 299 с. 25. Соболев С.Л. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1966. – 443 с. 26. Проблемы Гильберта /Под ред. П.С.Александрова. – М.: Наука, 1969. – 239 с. 27. Халмош П. Гильбертово пространство в задачах. – М.: Мир, 1970. – 352 с. 28. Функциональный анализ /Под ред. С.Г.Крейна. – М.: Наука, 1972. – 544 с. 29. Годунов С.К. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1979. – 391 с. 30. Полищук Е.М., Шапошникова Т.О. Жак Адамар. – Л.: Наука, 1990. – 254 с. 31. Треногин В.А. Функциональный анализ. – М.: Наука, 1980. – 495 с. 32. Михлин С.Г. Курс математической физики. – М.: Наука, 1968. – 575 с. 33. Пуанкаре А. О науке. – М.: Наука, 1983. – 560 с. 34. Бабенко К.И. Основы численного анализа. – М.: Наука, 1986. – 744 с.